ענף התמרים בארץ ישראל בתקופה הרומית והביזנטית
|
|
- Ἱερώνυμος Ασπάσιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ענף התמרים בארץ ישראל בתקופה הרומית והביזנטית ÌÈ Ó Ï Ó È Â ÈÁ È Ú Ú ÈÏ È ı בעת העתיקה היו בבל ומצרים מרכזי גידול לתמרים, כאשר במאה ה- 4 לפנה"ס הפך גידול זה לענף חקלאי גם בארץ ישראל. רוב המטעים באותה עת הניבו תמרים לחים (5), פירות אותם ניתן היה לשמר טריים ימים ספורים בלבד. מגדל התמרים הבבלי והמצרי הרחיב את מטעי התמר באופן מוגבל, שהותאם ליבול אותו העריך שיוכל למכור מיד לאחר הגדיד, ומשום כך מחיר הפרי בעת הגדיד היה נמוך. פתרון חלקי שנמצא על ידו לעודפי התמרים הלחים שלא נמכרו היה טיפול בהם והפיכתם למאכל הנשמר זמן ממושך יותר, זאת באמצעות בישול, אפייה או סחיטה. מהתמרים הלחים הפיקו דבש, יין, ריבות, מיני מתיקה ועוד, וזאת למדים אנו מהממצאים הארכיאולוגיים וממקורות חז"ל. התמר שימש בארצות אלו מזון בסיסי וזול, כעין דגנים או קטניות בארץ ישראל (15). עדויות מעניינות לאישוש טענה זו מוצאים אנו בספרות, מרישומים של חוקרי טבע מן העבר הרחוק. תאופרסטוס, חוקר טבע יווני גדול של העת העתיקה ותלמידו של אריסטו, שחי במאה הרביעית והשלישית לפנה"ס ( לפנה ס), כתב:... ÌÈ Ó ÂÏÈ Â ÔÂ Ó ßÙÂ Ù Ï Ì Ó Ó apple È Âapple Ú Â È Ô ÙÒÂÈ ÈÏÂ Ú Â È Ô Â Ù ÂappleÈ ßÚËÂapple ÔÂÏÚß ßÌÈ È Ú Ó ÈappleÊß Á  Á Ï ÔÂÈÒÈapple ÂÏÚ ÔÂÈÚ Æ π ÈappleÙÏ Ï È ı ÂÏ Â ÌÈÈ ÂÁÈÈ Ó ÈappleÊ Ù ÂÓÏ Â apple Ó ÙÂ È ÂÏ apple ÌÈÈÙÏ Î Âapple È ÒÚ ÔÂÂÈÎ ÆÔÈÈappleÚÓ ÊÚÂapple   ÈËappleÊÈ Â ÈÓ ı Ó ÈÚËÓß Âapple ËÒ Ó Â Ú ÌÈapple ÙÒÓ Ê Âapple Ë ÂË Â Â ß ÂÓÏ Â apple Ó Èapple È ÙÂ Ï È ß ÈËappleÊÈ Â ÈÓ Ù ÈÏ È ı ÚËÓ ß ÂÓÈÏ Ó Ô ÏÁ Ê ÌÂÁ  ÙÒÓ ÛÈÒÂ Ï ÈÓˆÚÏ ÆÂÈÏÚ Â ÂÏÁ Ô ÏÁÂ Ê Ó Ó בתמונה למעלה: ד"ר עקיבא לונדון כשמאחוריו אחד מעצי התמר ששימשו בניסוי על רקע עבודת הדוקטורט שלו בנושא ענף התמרים בתקופה הרומית - ביזנטית. עקיבא לונדון / המחלקה ללימודי ארץ ישראל וארכיאולוגיה, אוניברסיטת בר אילן מייל לתגובות: Akivalondon@gmail.com 37 'עלון הנוטע' שנה ס"ד, אפריל 2010
2 ÌÈ Ó apple ÌappleÈ Ô È ÓÚ ÌÈÏ ÌappleÈ ÌÈ Á ÌÈ ÂÊ ÌÈÏ ÌÈÏ Ï ÌÈÏ Ì ÂÈ ÌÈ Â Ó Ì Â ÓÏ ÌÈ appleâ Ï È Ë ÂÓÈ Ï Ì ÌÈ Á ÂÓÂ Ó Â ÔÈÒÈ Ù ÌÈ ˆÓ (2 VI..(H.P. II. פליניוס, חוקר טבע רומי שחי במאה ה- 1 לספירה (79-23 לסה"נ) הוסיף על כך:... ÔÈÒÈ Ù ÌÈ ˆÓ ÌÈ Ó Â ÌÈ Ó ÓÂ לחים), (זנים ÌÈ Ó apple ÌappleÈ (בבל) Â Â È ÂÏÈÒ.(N.H. XIII. IX ) ÌÈ Á ÌÈÈÁ ÈÏÚ Â ÌÈ ÈÊÁ ÌÂËÈÙÏ הפלאח המעבד אדמתו בשיטות העבודה המסורתיות זורע כל שנה חיטה או שעורה, על פי אזורי הגידול, אינו מדקדק בזנים, על אף שידוע כי קיימים זני דגנים רבים. לעומתו, החקלאי המודרני לא יעלה על דעתו לזרוע את שדהו ללא ידיעה ובדיקה של הזן המתאים ביותר לאזור ולמועד בו הוא מעבד את אדמתו. ההוצאות המרובות, קרקע מצומצמת, חוסר במים, בדיקת האלטרנטיבה החקלאית והכספית - כל אלה הם כנראה הסיבות לכך, ואלו כמעט שלא העסיקו את מגדל התמרים בבבל ואת הפלאח המסורתי. מאפיון זני התמר החשובים שאותם גידלו בארץ ישראל בימי בית שני, המשנה והתלמוד (הלוא היא התקופה הרומית והביזנטית) עולה, כי נעשתה כאן בארץ מהפיכה של ממש. חקלאי הארץ פיתחו ענף תמרים שהגיע לפסגת הפיתוח החקלאי בעת ההיא. מהמקורות והממצאים עולה, כי במהלך השנים בוררו כאן בארץ זני איכות - ככל הנראה באמצעות ריבוי מזריעים, שהצטיינו בשלושה פרמטרים חשובים (5): זנים יבשים, הניתנים לייבוש ושימור, פרי גדול ומרשים ביותר וטעם משובח. פיתוח זני תמר הניתנים לייבוש ושימור הביא למהפך בענף זה, ומאז שימשו פירות התמר מזון איכותי לאורך כל ימות השנה. טעמם המשובח נשמר, לא היה צורך למהר במכירתם וניתן היה לפרוס את שיווק הפרי לאורך כל חודשי השנה. החקלאים למדו כי בזני התמר היבשים אין למהר ולמכור את היבול מיד בתום הגדיד, להפך. ככל שחלף הזמן משעת הגדיד האמיר מחירם. ענף התמר הפך רווחי מאוד: מחירי התמרים האמירו גם בשל האפשרות לייצא את הפרי שלא נמכר בשוק המקומי, וכך ניתן היה להרחיב עוד יותר את היקף הגידול. התמר, כפרי מזין ומתוק, שימש מרכיב בעל משמעות בסל המזון האירופי (אם כי מחירו היה גבוה, וככל הנראה היה פרי מותרות) והכנסתו של החקלאי גדלה. דווקא מקורות המים המצומצמים בארץ ישראל, הוצאות העבודה הגבוהות ושאר מגבלות הם שהביאו את החקלאי הארץ ישראלי ליעילות, לחיפוש זנים רווחיים יותר ואמצעים להוזלת ההוצאות ולרצון להתקדם בידע ובשיטות הגידול. עושר באוצרות טבע הוא לעתים לרועץ לטווח הרחוק. Ú Ó ÈappleÊ פרופ' בן-יהושע ציין במאמרו שלושה זנים חשובים מן העבר. ראוי לציין כי מצאנו אזכורים לכ- 40 זני תמר מהתקופה הרומית-ביזנטית - כ- 17 זנים מארץ ישראל, כעשרה זנים מאזור בבל, כשלושה מפיניקיה ויוון וכ- 11 זנים ממצרים ואפריקה. אזכורים אלה מופיעים במקורות העוסקים בחקלאות בתקופה זו. המקורות היווניים, הרומיים והערביים המוקדמים, וכן מקורות חז"ל, מביאים את פירוט תכונותיהם של זנים אלה (5). מתוך 17 הזנים שגודלו בארץ עשרה היו ראויים לייבוש ושימור ושמונה היו זני איכות משובחים (6). תמונה 1: ספינת סוחר רומית: האפשרות לייצא את הפרי המיובש העלתה את רווחיות הגידול Ú ßÒ ÈÏ appleß Ó Ï Â אחד מזני התמר החשובים והמרשימים שגידלו בארץ בתקופה הרומית והביזנטית היה 'נקליבס'. בן-יהושע ציטט במאמרו את חוקר טבע הרומי פליניוס (23-79 לסה"נ), שציין בספרו Naturalis' 'Historia כי אורכו של פרי בודד מזן 'נקליבס' היה ס"מ. ברצוני לציין כי פליניוס אינו חוקר הטבע היחיד שכתב זאת. ממספר מקורות היסטוריים עולה מידע דומה על גודלו הייחודי של פרי התמר מזן זה, שמקורו היה בבקעת הירדן: תאופרסטוס, תלמיד של אריסטו, שחי במאות הרביעית והשלישית לפני הספירה, תיאר בספרו (19) זני תמר שונים בגודלם ומראיהם הגדלים בעמק הסורי (בקעת הירדן), ובתוך כך גם תיאר גם את גודלו הייחודי של זן Â ÈappleÚÈ ÌÎ Â ÌÈ Ó Ú cubit (כ- 18 אינץ' = ס"מ), היינו כ ס"מ לתמר בודד. הוא אינו מזכיר את שמו של זן זה. הסופר הרומי אתניוס, שחי ברומי לקראת סוף המאה השנייה לספירה, תיאר (12) בספרו 'Deipnosophistae' את תמרי העמק הסורי (יהודה) שעלו על שולחן הקיסר, את גודלם וייחודם, בכך שנשמרו זמן רב. 38 'עלון הנוטע' שנה ס"ד, אפריל 2010
3 תמונה 2: תאופרסטוס, תלמיד של אריסטו: תיאר בכתביו זן תמר ענק, ללא ציון שמו גם מעיני המקורות היהודיים בני אותה תקופה לא נעלם פרט זה. בתוספתא ביכורים פ"א ה"ה נאמר: ÔÈ È Ó ÔÈ Ó ÏÚ Ï ÔÈ Â ÔÈ Â ÂÁÈ È Ï ÌÈ Ó ÔÓ ıâá ÌÈ Ó ÌÈ ÂÎ. Ï Â ÂÎ כידוע, את הפירות הראשונים והמובחרים שהבשילו הביאו כביכורים לבית המקדש, ובזמן קבלת הפירות בבית המקדש על ידי הכהן נאמרה פרשת ביכורים (ספר דברים כו 15-1). לדעת רבן שמעון בן גמליאל, ביכורי תמרים ניתן להביא למקדש רק מאזור יריחו כי הם המובחרים מבין זני התמר בארץ. עוד עולה ממקור זה, כי ה'כותבת' נחשב לזן המשובח ביריחו ואולי בארץ כולה, שרק בהבאתו ניתן לקרוא את פרשת הביכורים. ממקור זה עולה, כי ה'כותבת' היה בעבר זן תמר מוגדר. ה'כותבת', כפרי תמר ידוע ומוכר, משמש גם כמידת נפח לעניין אכילה, הוצאה בשבת, אכילה ביום הכיפורים ועוד. על נפחו ומשקלו של הזן 'כותבת' אנו למדים ממספר מקורות. בתלמוד הבבלי נכתב: ÌÈ ÈÊ Èapple È È ÂΠ(כריתות יד ע"א). הזן 'כותבת' שימש מידת נפח, שוויו שני זיתים שמשקלם כ- 54 ג' (4). דבר זה מלמד על משקלה המרשים של תמרה זו. לשם השוואה, גודלו של תמר 'מג'הול' 'סופר ג'מבו', הגדול מבין זני התמר המסחריים הידועים היום, הוא ג'. באמצעות דילול נמרץ ניתן להגיע למשקל מעט גבוה יותר. לסיכום פרק זה נאמר, כי קיימים כמה מקורות שאינם תלויים זה בזה, המספקים מידע כמעט זהה על גודלם וייחודם של תמרי ארץ ישראל מן העבר, ומעניקים למידע אמינות גבוהה. Ú ÌÈÈ ÂÎÈ ÌÈ Ó ÂˆÈ בן-יהושע ציין במאמרו כי היה קושי במכירת זני תמר איכותיים מחוצה לארץ ישראל, עובדה שעלולה הייתה להביא לירידה ברווחיות ענף התמרים בתקופה הרומית והביזנטית. לראיה הביא את דברי המשנה במסכת עבודה זרה: Ï Û ÓÂ È Ó È Ì ÂÎÚÏ Ì ÎÂÓÏ ÂÒ Ì ÈÏ appleâ ˆÁÂ Ë (פ"א מ"ה). בן-יהושע ציין, כי ממקור זה אנו למדים על איסור מכירת זני איכות של תמרים לגויים בתקופת חז"ל, זאת מפני החשש שיעשו בהם שימוש לצורכי עבודה זרה. אמנם הרמב"ם בפירושו למשנה כתב כי ההלכה כדעתו של רבי מאיר, וכך כתב גם פרשן המשנה רבי עובדיה מברטנורא, אך חשוב לציין כי הרמב"ם עצמו אינו מביא הלכה זו בספר ההלכות שלו 'משנה תורה'. גם רבי יוסף קארו בספר ההלכות שלו 'שולחן ערוך' (המקובל כספר הלכות חשוב ביותר לפסיקה היהודית), אינו מביא איסור זה בפסקיו. נוסיף, כי ישנן עדויות מרובות לכך שזני תמר איכותיים מהעמק הסורי (בקעת הירדן) הגיעו לרומי. חלקן של עדויות אלו צוינו לעיל (תאופרסטוס, פליניוס, אתניוס ועוד), אך העדויות אינן רק מפי סופרים יווניים ורומיים, כי אם ממקורות חז"ל מתקופה זו. מעניינת עדות מקבילה המצויה בתלמוד הירושלמי (מעשר שני פ"ד מ"ו, נד ע"ד) על שיווק תמרי איכות מיהודה לרומי, ושם נאמר: È Î Î ÈÒÂÏ Èapple ÔÈÏÈ ÔÈ ÙÓ ÔÈ ÓÁ ÈÓ  Â ÈÈÁ Î Ú ÔÓ - כמו שראה רבי חייה בן ווא ברומי שפודים ופורקים את תמרי נקלווסין ברומי בשער (המחיר) של ארץ ישראל (שהיה זול יותר). זן התמר 'נקלווסין' נמנה על הזנים היבשים שנשלחו מארץ ישראל לרומי, שכן לא ניתן לשלוח לרומי תמרים לחים, מאחר שהם יחמיצו בטרם יגיעו ליעדם. מעדות זו, ואחרות שהבאנו לעיל, עולה כי זני איכות של תמרים נמכרו לחו"ל וכנראה בכמויות גדולות למדי, וכי דבריו של רבי מאיר במשנה (עבודה זרה לעיל) לא מנעו את יצוא התמרים (יתכן כי בתקופה זו לא היה חשש לשימוש בתמרים אלה לעבודה זרה). Ï È ı Ó ÌÈ Ó Ï ÂÓ בעקבות אינפלציה חמורה באימפריה הרומית שהחלה במאה השלישית לספירה, פירסם הקיסר דיוקלטיאנוס ( לסה"נ) בשנת 301 לסה"נ צו בכל רחבי האימפריה (שכללה גם את נציבות 'יהודה') של מחירים מקסימליים למוצרים שונים. צו זה נקרא "אדיקט המחירים של דיוקלטיאנוס", והוא הקפיא את המשכורות ואת מחיריהם של למעלה מאלף מוצרים. בתוך רשימת המוצרים 'המוקפאים' מוצאים אנו גם את מחירי הפירות היבשים. בצו זה נכתב, כי מחיר התמר היה גבוה פי 6 ממחיר התאנה, שגם אותה ניתן היה לשמר לאורך זמן (17). לאור עדויות אלו ועוד רבות אחרות, מסקנתנו הייתה (16), כי ענף התמרים היה ענף מרכזי בחקלאות הארץ ישראלית בתקופה הרומית והביזנטית. אפשרויות הייצוא הנרחבות של פירות אלה העניקו תמורה גבוהה לחקלאים והיוו מרכיב חשוב בכלכלה הארץ ישראלית בתקופה זו. 39 'עלון הנוטע' שנה ס"ד, אפריל 2010
4 Ó ÈÓÏÒÂÓ Ù ÌÈ Ó ÛappleÚ בשנת 634 לסה"נ החלה תקופה חדשה בארץ. הכובש הביזנטי נוצח, חליפים מוסלמים כבשו את הארץ והחזיקו בה 458 שנה. במהלכה של תקופה זו נידלדל מאוד הישוב היהודי בארץ ורוב תושביה נטשוה לבלי שוב, לגלות בת 1,500 שנה לערך. ראוי לבדוק האם הידע החקלאי הייחודי שנצבר על ידי חקלאי הארץ בתקופה הרומית והביזנטית, שיטות הגידול וזני התמר הייחודיים, נשמרו גם בתקופה מוסלמית המוקדמת ולאחריה. נתקיימה בידינו עדותו של הגיאוגרף המוסלמי אצטח'רי (800 לסה"נ, התקופה הערבית המוקדמת) על גידול התמרים בארץ ישראל: ÈÚ Â ÂÓÎ ˆÓ Ï ß Ï apple ß Ó ˆÓapple Úˆ ÌÂÎ Î Ú ˆÎ ÂÚ ˆ ÂÈÙÂÈ Â Â Â È Ó Á ÌÂ Ó ÏÎ Â Ó Ï Â Î Ì Ó Ú Â Â ÂÎÈ Á ÂÓ Ô ÙÚÊ.(1) עדותו מתייחסת לאזור דרום ים המלח - צוער, אזור מבודד ובו עדיין גדל לפחות זן איכות יבש אחד, 'אנקלה' (ככל הנראה הזן 'נקליבס', בחילוף אותיות, עיין לעיל 'תמר 'נקליבס' בעבר' (5). כ- 150 שנה מאוחר יותר מעיד הגיאוגרף המוסלמי מוקדסי ( לסה"נ) על מטעי התמר בבקעת הירדן: Â Ó ÆÆÆÌÈ Ó Â Ó ÂÁÈ È ÌÈÁÏ ÌÈ Ó (7). עדות נוספת מתקופה זו נמסרה על ידי בירוני (מאה 11 לסה"נ), וכך כתב: Ó Ï È ˆÓ ÔÊ Ó apple ÁÏ Í Â ÔÈËÒÏÙ ÂÁÈ È ÂÊ Ê ÂÚ È Â ßßÈßÊÂÁß apple    ÓÂ Ë (11). יתכן כי עדויות אלו מקריות ואינן מבטאות תהליך מתמשך, וכי אין הן מקיפות את כלל זני התמר באזור יריחו ובקעת הירדן. לנו נראה כי יש בעדויות אלו ונוספות ביטוי למציאות ימיהם. הן מצביעות על שינוי הדרגתי במהלכה של התקופה המוסלמית המוקדמת, כמה מאות שנים לאחר תקופת המשנה והתלמוד (התקופה הרומית והביזנטית). בעוד שבתקופה הרומית והביזנטית נתייחדה בקעת הירדן בזני איכות יבשים, אזי בתקופה המוסלמית המוקדמת חל בה שינוי הדרגתי. אם בתחילתה עדיין נשמרו הידע וזני האיכות, הרי שבהמשכה ולקראת סופה חלה ככל הנראה הידרדרות בענף התמרים והוא החל לדעוך. רוב זני יריחו ובקעת הירדן בתקופה זו כבר היו לחים, שכל ייחודם אבד (8). ככל הנראה, זמן לא רב לאחר נטישת חבל ארץ זה מחקלאיו היהודים אבדו גם הידע וזני התמר היבשים, שעל פיתוחם שקדו חקלאי ארץ ישראל לאורך יותר מאלף שנה. יש לזכור, כי האפשרות לשמירה וריבוי של זני תמר יכולה להתבצע תוך מספר שנים מוגבל למדי. דקל התמר מוציא חוטרים בין גיל ארבע ל- 11 לערך, ואם לא טופלו וניטעו החוטרים אז, יכול הזן להיעלם לתמיד (גם כיום, ריבוי התמר באמצעות תרבית רקמה אינו מספק מענה הולם למגדלי התמרים, זאת עקב בעיות שונות שנתגלו בשימוש בשיטת ריבוי זאת: התפתחות לקויה של הדקלים, פריון לקוי ושונות בפרי). יתכן כי בד בבד עם היעלמות זני האיכות אבד גם ידע חקלאי חשוב לגידול דקל התמר, בדומה לחיסולו של ענף האפרסמון, שממנו הפיקו שמן מבוסם וייחודי (3). בתקופה הצלבנית ובראשית התקופה האיובית עדיין היו התמרים נפוצים בארץ (8, 14). אולם כבר בתקופה זו אנו עדים לצמצום במספר מטעי התמר באזורים שונים בארץ, וזאת בהשוואה לתקופה המוסלמית הקדומה. כבר בסוף המאה ה- 11 חלה ירידה משמעותית בהיקף גידול התמרים בבקעת הירדן, בצפון סיני ובמישור החוף. תהליך הנסיגה בענף התמרים הורגש בעיקר לאחר החרבת ערי החוף בפקודת צאלח-א-דין בספטמבר (8) עדויות מסוף המאה ה- 11 מאזור בית שאן מצביעות עדיין על עושר תמריה, אך לקראת סופה של התקופה האיובית ניתן היה למצוא אך מעט עצי תמר נושאי פרי (2). בתקופה הממלוכית הואץ תהליך ההתמעטות, עד שענף זה נכחד לחלוטין מאזור זה (העדויות האחרונות על תמרים באזור יריחו וצוער הם מאמצע המאה ה- 14 ). בשנת 1418 כתב אל-קלקשנדי: Ï Û Â ÌÈÈ Ë ÌÈ Ó ÌÈ ˆÂÓ ÔÈ Î ÌÈ È ÌÈ Ó (9). וענף זה סיפק אך בקושי את התצרוכת המקומית (8). באותה תקופה אף יובאו תמרים לארץ (13). ßÁÏ Â ÓßÏ DNA È לפני מספר שנים נלקח זרע תמר שנמצא במצדה וזמנו מהמאה ה- 1 לספירה, הונבט בידי איילן סלוואי וקבוצת חוקרים נוספת בקיבוץ קטורה שבערבה, וכונה בהמשך 'מתושלח'. לצמח זה נעשתה בדיקה גנטית, ובניתוח גנטי ראשוני של דגם עלה מוקדם (ראשוני) הושוו התוצאות משתיל זה לשלושה זני תמר של היום: 'מג'הול', שמקורו במרוקו והובא ארצה מארה"ב, 'חיאני', שמקורו במצרים ו'ברהי' שמקורו בעירק. בדיקת DNA זו העלתה, כי מעל 50% מרצף ה- DNA דמה בין כל הזנים. תוצאה זו ככל הנראה מאפיינת ומייצגת את זני התמר. אולם, בחלק שאינו זהה נמצאו הבדלים גנטיים גדולים יותר בין 'מתושלח' והזן 'מג'הול' - 35% שונות, הזן 'חיאני' % שונות וה'ברהי' % שונות. אם ניתן להסיק מסקנה כלשהי מזרע בודד - והדבר מוטל בספק גדול, ניתן לומר כי ה'מתושלח' קרוב יותר מבחינה גנטית (או פחות שונה) לזן העירקי ומעט פחות לזן המצרי. הבדלים גנטיים אלה יכולים אולי לבטא את הקרבה של ארץ ישראל העתיקה למרכזי גידול התמרים הגדולים של העת העתיקה מצרים ועירק (בבל ופרס) יותר מאשר למרכזים המרוחקים יותר, כדוגמת מרוקו. מחקר זה יתכן ויכול לסייע בפתרון שאלת חידוש מטעי התמר בארץ ישראל בתחילת ימי בית שני. ככל הידוע מטעי התמרים, בשונה מהזית, הגפן, התאנה, השקד ואחרים, לא היו נפוצים בארץ ישראל לאורך תקופת בית ראשון (10). ככל הנראה המשמעות הכלכלית של ענף התמרים הייתה אז נמוכה למדי. העדויות הראשונות על גידול משמעותי של תמרים ברחבי הארץ עולות מהמאה הרביעית לפני הספירה. מה הביא לשינוי זה בהרגלי הגידול של המטעים? מה הביא לפיתוח ענף התמרים בתחילת ימי בית שני? אם תוצאות דגימת ה- DNA יכולות ללמד דבר, אזי הן מצביעות על האפשרות שה'מתושלח', ואולי זני תמר נוספים, הגיע מבבל או ממצרים. דהיינו, היהודים גולי בבל לאחר חורבן בית ראשון (586 לפנה"ס), בזמן שהותם שם, זיהו את הפוטנציאל הגלום בעץ זה ובפריו המתוק והטעים. בשובם ארצה הביאו חוטרים מזנים 40 'עלון הנוטע' שנה ס"ד, אפריל 2010
5 טובים ואיקלמו אותם לאורך בקעת הירדן. יתכן כי חוטרים מזנים טובים הובאו גם ממצרים, שגם היא הייתה מרכז גידול תמרים גדול בתקופות קדומות יותר ובשל קרבתה לארץ ישראל. ÌÂÈÒÏ הנבטת גלעיני תמר בניסיון להתחקות אחר זני תמר מן העבר, היא כיוון מחשבה נועז, אך בעייתי בכמה מישורים. ראשית, ארכיאולוגים ובוטנאים לא ייפרדו מגלעיני התמר שהתגלו בחפירות ארכיאולוגיות. שנית, גם אם יימסרו גלעינים אלה, וגם אם נצליח להנביט את חלקם - שהרי אין 'מתושלח', גלעין תמר אחד שהונבט, מצביע בהכרח על הצלחות נוספות בעתיד, הרי כל גלעין יצמיח עץ השונה בתכונותיו מעץ האם ושונה מחברו, ומה נוכל ללמוד מזנים אלה? לעניות דעתי, ניסיון להפקת DNA מהציפה של תמרים מן העבר - וכאלה נמצאו באזור עין גדי ויריחו, ובחינת התוצאות, יספקו מידע מדויק ורב יותר בתחום זני העבר. ברצוני עוד להציע, וזאת בעקבות התייעצות עם ד"ר יובל כהן מהמחלקה למטעים במכון וולקני, כי יש לנסות להפיק DNA מממצאים שנתגלו במדבר יהודה וזמנם התקופה הרומית והביזנטית, כגון סנדלים, סלים, מחצלאות או כל כלי אחר שיוצר מעלעלי הדקל או מגזעו. יש להניח כי עלעלים וגזעים אלה נלקחו מעצי הנקבה, שהיו נפוצים באזורים אלה, בעוד שעצי זכר היוו מיעוט קטן. פיענוח תוצאות בדיקה זו יוכלו אולי לתת בידינו בעתיד מידע שיאפשר הגדרה טובה יותר של תכונות זני האיכות מן העבר. 9. קלקשנדי ( ): אלקלקשנדי, צבח אלאעשא פי מערפת אלאנשאא, קהיר. 10. רוזנסון י' (תשמ"ז): גידול תמרים בעבר בארץ ישראל לפי המקורות, בתוך: איילון א' (עורך), התמר עץ החיים, תל-אביב, עמ' Al-Biruni (1973): Book on Pharmacy and Materia Medica, ed. H.M. Said, Karachi. 12. Athenaeus (1969): The Deipnosophists, Loeb Classical Library (with an English 13. Cohen A., Lewis B. (1978): Population and Revenue in the Towns of Palestine in the Sixteenth Century, Princeton. 14. Jacobus de Vitriaco (1611): Per. ed. J. Bongars, Gesta Dei Historia Orientalis, London. Ancient Greek agricultuer. 15. Mason S. (1927): Date Culture in Egypt and Sudan, U.S.A.D. Bull, 1457, Washington. 16. Pliny (1938): Natural History, Loeb Classical Library (with an English translation by Rackman H. London. 17. Safrai Z. (1994): The Economy of Roman Palestine Londom- New York. Strabo of Amaseia. 18. (1966): Strabo, Loeb Classical Library (with an The Geography of English translation by Horace L.J.), London. 19. Theophrastus (1961): Historia Plantarum, Enquiry into plants, Loeb Classical Library (with an English translation by Sir Hort A.), London. Â Â ברצוני להודות לפרופ' זאב ספראי, לפרופ' זהר עמר, לד"ר יובל כהן ולחיים אורן, על סיועם בהכנת מאמר זה. ÈÙ ÂÈÏ È 1. אצטחר'י (1967): אלאצטח'רי כתב אלמסאלכ ואלממאלכ (מהדורת,(De Goeje ליידן (צילום מהדורה משנת 1870). 2. יאקות (1870): מעג'ם אלבלדאן, לייפציג. 3. יוסף בן מתתיהו (תש"א): קדמוניות היהודים, תרגום י. שליט, תל-אביב. 4. כסלו מ' (תשמ"ט): "כזית - פרי הזית כמידת נפח", תחומין י, עמ' לונדון ע' (התשס"ג): מטעי התמר בארץ ישראל בתקופת בית שני, המשנה והתלמוד, עבודת לשם קבלת,M.A. עמ' , לונדון ע' (תשס"ט): סוגיות חקלאיות במטע בתקופת המשנה והתלמוד לאור מקורות חז"ל והספרות הקלאסית, חיבור לשם קבלת התואר דוקטור לפילוסופיה, אוניברסיטת בר אילן, רמת גן. 7. מוקדסי א' (1906): אחסן אלתקאסים פי מערפת אלאקאלים, (מהדורת,(De Goeji ליידן. 8. עמר ז' (תש"ס 2000): גידולי ארץ ישראל בימי הביניים, ירושלים. 41 'עלון הנוטע' שנה ס"ד, אפריל 2010
לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור
הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין
התפלגות χ: Analyze. Non parametric test
מבחני חי בריבוע לבדיקת טיב התאמה דוגמא: זורקים קוביה 300 פעמים. להלן התוצאות שהתקבלו: 6 5 4 3 2 1 תוצאה 41 66 45 56 49 43 שכיחות 2 התפלגות χ: 0.15 התפלגות חי בריבוע עבור דרגות חופש שונות 0.12 0.09 0.06
שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם
תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא
גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1
גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות
קורס: מבוא למיקרו כלכלה שיעור מס. 17 נושא: גמישויות מיוחדות ושיווי משקל בשוק למוצר יחיד
גמישות המחיר ביחס לכמות= X/ Px * Px /X גמישות קשתית= X(1)+X(2) X/ Px * Px(1)+Px(2)/ מקרים מיוחדים של גמישות אם X שווה ל- 0 הגמישות גם כן שווה ל- 0. זהו מצב של ביקוש בלתי גמיש לחלוטין או ביקוש קשיח לחלוטין.
3-9 - a < x < a, a < x < a
1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.
gcd 24,15 = 3 3 =
מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =
ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך
מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות
Vcc. Bead uF 0.1uF 0.1uF
ריבוי קבלים תוצאות בדיקה מאת: קרלוס גררו. מחלקת בדיקות EMC 1. ריבוי קבלים תוצאות בדיקה: לקחנו מעגל HLXC ובדקנו את סינון המתח על רכיב. HLX מעגל הסינון בנוי משלוש קבלים של, 0.1uF כל קבל מחובר לארבע פיני
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e
תרגול פעולות מומצאות 3
תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה
[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m
Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה
ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (
תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע
חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
שם התלמיד/ה הכיתה שם בית הספר. Page 1 of 18
שם התלמיד/ה הכיתה שם בית הספר ה Page of 8 0x = 3x + שאלה פ תרו את המשוואה שלפניכם. x = תשובה: שאלה בבחירות למועצת תלמידים קיבל רן 300 קולות ונעמה קיבלה 500 קולות. מה היחס בין מספר הקולות שקיבל רן למספר
פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
Logic and Set Theory for Comp. Sci.
234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =
תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות
Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון
רחת 3 קרפ ( שוקיבה תמוקע)שוקיבה תיצקנופ
- 41 - פרק ג' התנהגות צרכן פונקצית הביקוש(עקומת הביקוש ( - 42 - פרק 3: תחרות משוכללת: התנהגות צרכן מתארת את הקשר שבין כמות מבוקשת לבין מחיר השוק. שיפועה השלילי של עקומת הביקוש ממחיש את הקשר ההפוך הקיים
I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(
א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π
תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME
הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות תרגילים הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות באמצעות Q תרגיל 1 מעגל העובר דרך הקודקודים ו- של המקבילית ו- חותך את האלכסונים שלה בנקודות (ראה ציור) מונחות על,,, הוכח כי
מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1
1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ
משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת
צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה
1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )
הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,
קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.
א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.
Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.
בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד
בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד סמסטר: א' מועד: א' תאריך: יום ה' 0100004 שעה: 04:00 משך הבחינה: שלוש שעות חומר עזר: אין בבחינה שני פרקים בפרק הראשון 8 שאלות אמריקאיות ולכל אחת מהן מוצעות
יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק
יציבות מגבר שרת הוא מגבר משוב. בכל מערכת משוב קיימת בעיית יציבות מהבחינה הדינמית (ולא מבחינה נקודת העבודה). חשוב לוודא שהמגבר יציב על-מנת שלא יהיו נדנודים. קריטריון היציבות של נייקוויסט: נתונה נערכת המשוב
c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )
הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה
גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות
08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך
The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן
.. The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן 03.01.16 . Factor Models.i = 1,..., n,r i נכסים, תשואות (משתנים מקריים) n.e[f j ] נניח = 0.j = 1,..., d,f j
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.
דיאגמת פאזת ברזל פחמן
דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:
דינמיקה כוחות. N = kg m s 2 מתאפסת.
דינמיקה כאשר אנו מנתחים תנועה של גוף במושגים של מיקום, מהירות ותאוצה כפי שעשינו עד כה, אנו מדלגים על ניתוח הכוחות הפועלים על הגוף. כוחות אלו ומסתו של הגוף הם אשר קובעים את תאוצתו. על מנת לקבל קשר בין הכוחות
הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי BJT
הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי JT תוכן עניינים: 1. טרנזיסטור ביפולרי :JT מבנה, זרם, תחומי הפעולה..2 מודל: S MOLL (אברסמול). 3. תחומי הפעולה של הטרנזיסטור..1 טרנזיסטור ביפולרי.JT מבנה: PNP NPN P N N P P N PNP
א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא.
א. חוקיות. א( 1; ב( ; ג( השמיני; ד( ; ה( האיבר a שווה לפי - מיקומו בסדרה ; ו( = ;a ז( 9 = a ;.6 א( דוגמה: = a. +.7 א( =,1 + = 6 ;1 + ג( את המספר האחרון: הוא זה שמשתנה מתרגיל לתרגיל. 8. ב( 1 7 a, המספר
PDF created with pdffactory trial version
הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח
סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל
סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר
סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9
סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 תוכן העניינים מבוא לפרק "סימני התחלקות" ב 3, ב 6 וב 9............ 38 א. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה)............ 44 ב. סימן ההתחלקות ב 3..............................
Copyright Dan Ben-David, All Rights Reserved. דן בן-דוד אוניברסיטת תל-אביב נושאים 1. מבוא 5. אינפלציה
נושאים 1. מבוא 2. היצע קיינסיאני וקלאסי מאקרו בב' דן בן-דוד אוניברסיטת תל-אביב 3. המודל הקיינסיאני א. שוק המוצרים ב. שוק הכסף ג. מודל S-L במשק סגור ד. מודל S-L במשק פתוח שער חליפין נייד או קבוע עם או בלי
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =
שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R
תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A
33 = 16 2 נקודות. נקודות. נקודות. נקודות נקודות.
1 מבחן מתכונת מס ' משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. מבנה ה ומפתח הערכה: ב זה שלושה פרקים. פרק א': אלגברה והסתברות: נקודות. נקודות. נקודות. נקודות. 1 33 = 16 3 3 פרק ב': גיאומטריה וטריגונומטריה במישור: 1 33
החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.
החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע
הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה
פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון
תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות
תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si
תכנית הכשרה מסחר באופציות
תכנית הכשרה מסחר באופציות שיעור 5 B&S)) Black - Scholes מודל B&S תכונות אופציות מודל בלק ושולס B&S מודל כלכלי לתמחור אופציות שפותח ע"י צמד המתמטיקאים פישר בלאק ומיירון שולס בתחילת שנות ה- 70 וזיכה את המחברים
שאלה 5: להלן סטטיסטיקה תיאורית מפורטת עם טבלת שכיחות לציוני בית ספר לוח 1: סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר
20 0 79.80 78.50 75 שאלה 5: להלן סטטיסטיקה תיאורית מפורטת עם טבלת שכיחות לציוני בית ספר לוח : סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר Score Valid Missing גודל מדגם חסרים מדד=
רשימת בעיות בסיבוכיות
ב) ב) רשימת בעיות בסיבוכיות כל בעיה מופיעה במחלקה הגדולה ביותר שידוע בוודאות שהיא נמצאת בה, אלא אם כן מצוין אחרת. כמובן שבעיות ב- L נמצאות גם ב- וב- SACE למשל, אבל אם תכתבו את זה כתשובה במבחן לא תקבלו
brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק
יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות
הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-
מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות
בסל A רמת התועלת היא: ) - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות. P x P y. U y P y A: 10>6 B: 9>7 A: 5>3 B: 4>3 C: 3=3 C: 8=8 תנאי שני : מגבלת התקציב
תנאי ראשון - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות 1) MRS = = שיווי המשקל של הצרכן - מציאת הסל האופטימלי = (, בסל רמת התועלת היא: ) = התועלת השולית של השקעת שקל (תועלת שולית של הכסף) שווה בין המוצרים
קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות
קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית
מצולעים מצולעהוא צורה דו ממדית,עשויה קו"שבור"סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכם EC אלכסוןבמצולע.
גיאומטריה מצולעים מצולעים מצולעהוא צורה דו ממדית,עשויה קו"שבור"סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שappleי קדקודים שאיappleם סמוכים זה לזה. לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכם
רשימת משפטים והגדרות
רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר
שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.
טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1
שיעור 1. זוויות צמודות
יחידה 11: זוגות של זוויות שיעור 1. זוויות צמודות נתבונן בתמרורים ובזוויות המופיעות בהם. V IV III II I הדסה מיינה את התמרורים כך: בקבוצה אחת שלושת התמרורים שמימין, ובקבוצה השנייה שני התמרורים שמשמאל. ש
ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/
בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון
מודלים חישוביים תרגולמס 7
מודלים חישוביים תרגולמס 7 13 באפריל 2016 נושאי התרגול: מכונת טיורינג. 1 מכונת טיורינג נעבור לדבר על מודל חישוב חזק יותר (ובמובן מסוים, הוא מודל החישוב הסטנדרטי) מכונות טיורינג. בניגוד למודלים שראינו עד
תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית
אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית
זמן המולד הממוצע ומקורותיו במשך הדורות
בס"ד תשע"ה. עדכון אחרון: ג' אב תשע"ו זמן המולד הממוצע ומקורותיו במשך הדורות מה יוסיף המאמר הזה? הרי בוודאי כבר דיברו על כך... ההנחה היא שרוב הקוראים אינם בקיאים במקורות העתיקים, לא עיינו בהם במקור, ולא
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון
דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)
c ארזים 15 במרץ 2017
הסתברות למתמטיקאים c ארזים 15 במרץ 2017 הקורס הוא המשך של מבוא להסתברות שם דיברנו על מרחבים לכל היותר בני מניה. למשל, סדרת הטלות מטבע בלתי תלויות היא דבר שאי אפשר לממש במרחב בן מניה נסמן את התוצאה של ההטלה
מודלים חישוביים תרגולמס 5
מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך
הכנסה במוצרים היצע העבודה ופנאי תצרוכת על פני זמן נושאי השיעור קו התקציב, פונקציות הביקוש, היצע וביקוש הפרט סטאטיקה השוואתית
הכנסה במוצרים היצע העבודה ופנאי תצרוכת על פני זמן נושאי השיעור הכנסה במוצרים קו התקציב פונקציות הביקוש היצע וביקוש הפרט סטאטיקה השוואתית היצע העבודה ופנאי קו התקציב היצע העבודה תרחישים שונים תצרוכת על
"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי
הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת
גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי
מצולע הוא צורה דו ממדית, עשויה קו "שבור" סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שני קדקודים שאינם סמוכים זה לזה. לדוגמה: בסרטוט שלפניכם EC אלכסון במצולע. ABCDE (
'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï , ,96 ÓÔÏÔ , ,96 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,99
TOYPI TIKAI E IXEIPH EI «PO.KA.Kø A.E.» AP.M.A.E. 12152/80/B/86/115 - AP..E.MH 123448420000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ
הרצאה 3 קומבינטוריקה נוסחת ניוטון משפט מולטינומי. + t עבור ( ) + t
ROBABILITY AND STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר Eugee Kazieper All rights reserved 5/6 כל הזכויות שמורות 5/6 הרצאה קומבינטוריקה עצרת של מספר ופונקצית גאמא עקרון הכפל סידורים ובחירות תמורות
xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx
האם קיים קשר בין העדפה ובחירה? ההנחה שקיים קשר הדוק בין מערכת ההעדפות של היחידה הכלכלית ובין התנהגותה המתבטאת בבחירה בין האפשרויות העומדות בפניה מקובלת מאד בתיאוריה הכלכלית. למעשה הנחת העבודה הבלעדית בניתוח
סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור
סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b
אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11
אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6
{ : Halts on every input}
אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,
הרצאה 9: CTMC מבוא לתורת התורים
הרצאה 9: CTMC מבוא לתורת התורים תורת התורים למערכת תורים שלושה מרכיבים עיקריים: -- זרם של צרכנים שזמני המופע שלהם הם תהליך נקודות T1, T1 + T2,, T1 + + T, -- דרישות שרות של הצרכנים, שהם סדרה של משתנים מקריים
- הסקה סטטיסטית - מושגים
- הסקה סטטיסטית - מושגים פרק נעסוק באכלוסיה שהתפלגותה המדויקת אינה ידועה. פרמטרים לא ידועים של ההתפלגות. מתקבלים מ"מ ב"ת ושווי התפלגות לשם כך,,..., סימון: התפלגות האכלוסיה תסומן בפרק זה המטרה לענות על
קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.
קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא
y 2x הוא הגדול ביותר? פיתרון: ניתן לפתור את השאלה בשתי דרכים: הצבת התשובות המוצעות וחישוב ערך הביטוי המתקבל או הבנה של העיקרון האלגברי שבבסיס השאלה.
0 )( 9 )( 8 )4( 7 )( 6 )4( 5 )( 4 )( )( )( )4( שאלה תשובה 0 )( 9 )( 8 )( 7 )( 6 )( 5 )4( 4 )( )( )4( )( שאלה תשובה )שאלות 9-( y x הוא הגדול ביותר? השאלה: באיזה מן המקרים הבאים ערך הביטוי פיתרון: ניתן לפתור
פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).
מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של
Electric Potential and Energy
Electric Potential and Energy Submitted by: I.D. 039033345 The problem: How much energy is needed to create the following configuration? The solution: Let φ i be the potential at the position of the charge
דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא:
של שאלות מבחינות פתרונות.1 שאלהזוהופיעהבמבחןמועדג 01 דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: הגדרות: עבור צומת בעץ בינארי T נסמן ב- T את תת העץ של T ששורשו. (תת העץ הזה כולל את ). נגדיר את תת העץ
ניהול סיכום הרבון ""ר ותמיכה באחזקה אחזקה MTBF = 1. t = i i MTTR זמינות BTBM. i i
הקשר בין אחזקה לבין אמינות: דד// אחזקה כדי למצוא משך פעולה בטרם יש צורך לבצע אחזקה במערכת בעלת אמינות או MTBF באמינות נדרשת (בין ל- ) יש לבצע את החישוב הבא: ln r( ln r( MTBF MTBF s MTTR s ( T ) זמן ממוצע
אינפי - 1 תרגול בינואר 2012
אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,
s ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=
את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן -
b 1 b 2 c 0 > c 1 > c 2 רציונל הפתרון: הגדרות: G j b j b j+1 *Q -גודל מנה אופטימלית.
תרגול - IV מודלים עם הנחה לכמויות הנחה על כל הכמות: המשמעות: בהתאם לגודל המנה, נקבע מחיר ליחידה c, ובמחיר זה נרכשת כל הכמות. TC מבחינה גרפית: b b b תחום תחום תחום c > c > c רציונל הפתרון: לכל תחום מחשבים
אלגברה לינארית 1 יובל קפלן
אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע
-107- גיאומטריה זוויות מבוא מטרתנו בפרק זה היא לחזור על המושגים שנלמדו ולהעמיק את הלימוד בנושא זה.
-07- בשנים קודמות למדתם את נושא הזוויות. גיאומטריה זוויות מבוא מטרתנו בפרק זה היא לחזור על המושגים שנלמדו ולהעמיק את הלימוד בנושא זה. זווית נוצרת על-ידי שתי קרניים היוצאות מנקודה אחת. הנקודה נקראת קדקוד
תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות
תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית
השאלות..h(k) = k mod m
מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 5 השאלות 2. נתונה טבלת ערבול שבה התנגשויות נפתרות בשיטת.Open Addressing הכניסו לטבלה את המפתחות הבאים: 59 88, 17, 28, 15, 4, 31, 22, 10, (מימין לשמאל),